O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando sobremaneira os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.
Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é?
Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.
Outros exemplos:
152 = 225, logo: log15225 = 2
63 = 216, logo: log6216 = 3
54 = 625, logo: log5625 = 4
70 = 1, logo: log71 = 0
2 - DEFINIÇÃO
Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.
Exemplos:
a) log28 = 3 porque 23 = 8.
b) log41 = 0 porque 40 = 1.
c) log39 = 2 porque 32 = 9.
d) log55 = 1 porque 51 = 5.
Notas:
1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.
Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional
e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim,
logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.
Exemplos:
a) log100 = 2 porque 102 = 100.
b) log1000 = 3 porque 103 = 1000.
c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2.
d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3.
e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183...
f) ln 7 = loge7
2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .
Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa.
As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.
Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que
101,6532 = 45.
3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9) , log20 , etc.
4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:
P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja:
logb1 = 0 porque b0 = 1.
P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.
P3) logbbk = k , porque bk = bk .
P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).
P5) blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.
3 - PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS
P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO
O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja:
logb(M.N) = logbM + logbN
Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.
P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE
O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja:
logb(M/N) = logbM - logbN
Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990 = 0,02.
Da mesma forma podemos exemplificar:
log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.
Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).
Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja:
cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN.
(menos log de N na base b).
Exemplo: colog10 = -log10 = -1.
P3 - LOGARITMO DE UMA POTENCIA
Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logbMk = k.logbM.
Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12.
Exemplos:
a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2)
b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3)
c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125.
Notas:
1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.
2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes:
a) logbN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada).
b) logba . logab = 1
Exemplos:
a) log37 . log73 = 1
b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850
4 - A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA
Considere a função y = ax , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.
Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x Î R, onde R é o conjunto dos números reais.Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função exponencial como segue:
f: R ® R+* ; y = ax , 0 < a ¹ 1
Esta função é bijetora, pois:
a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas.
b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.
Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.
Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 < a ¹ 1.
Permutando x por y, vem:
x = ay \ y = logaxPortanto, a função logarítmica é então:
f: R+* ® R ; y = logax , 0 < a ¹ 1.Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica
( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 < a ¹ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.
--------------------------------------------------------------------------------
Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:
1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES.
2 - para 0 < a ¹ 1, elas são DECRESCENTES.
3 - o domínio da função y = logax é o conjunto R+* .
4 - o conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais.
5 - o domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais.
6 - o conjunto imagem da função y = ax é o conjunto R+* .
7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.
ALGUNS VIDEOS, MUITO BONS!
segunda-feira, 23 de fevereiro de 2009
Equações do 2º grau
Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração, multiplicação, divisão e radiciação.
Exemplos:
a x + b = 0
a x² + bx + c = 0
a x4 + b x² + c = 0
Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:
ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0
onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.
Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.
A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
Seja a equação:
a x² + b x + c = 0
com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0
Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
x² + (b/a) x = -c/a
Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:
x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:
[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²
Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.
Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:
x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]
ou
x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]
que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:
contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.
Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:
x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a
ou
x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a
A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:
onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:
D = b² - 4ac
Equação do segundo grau
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
a x² + b x + c = 0
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
2 x² + 7x + 5 = 0
3 x² + x + 2 = 0
Equação incompleta do segundo grau
Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.
Exemplos:
4 x² + 6x = 0
3 x² + 9 = 0
2 x² = 0
Resolução de equações incompletas do 2o. grau
Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0
significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.
Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:
x² = -c/a
Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0
e a equação terá duas raízes:
x' = 0 ou x" = -b/a
Exemplos gerais
4x²=0 tem duas raízes nulas.
4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]
4x²+5=0 não tem raízes reais.
4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0
Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.
x² + 6x = 0
2 x² = 0
3 x² + 7 = 0
2 x² + 5 = 0
10 x² = 0
9 x² - 18 = 0
Resolução de equações completas do 2o. grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.
Para esse discriminante D há três possíveis situações:
Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
Se D=0, há duas soluções iguais:
x' = x" = -b / 2a
Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a
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Exemplos:
a x + b = 0
a x² + bx + c = 0
a x4 + b x² + c = 0
Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:
ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0
onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica é denominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo dominante.
Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que esta é uma equação do segundo grau.
A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)
Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.
O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.
Seja a equação:
a x² + b x + c = 0
com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:
x² + (b/a) x + c/a = 0
Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:
x² + (b/a) x = -c/a
Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:
x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²
Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:
[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²
Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5. Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois a linguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.
Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real não negativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:
x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]
ou
x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]
que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:
contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado em Matemática.
Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:
x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a
ou
x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a
A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:
onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por:
D = b² - 4ac
Equação do segundo grau
Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:
a x² + b x + c = 0
onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.
Equação Completa do segundo grau
Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.
Exemplos:
2 x² + 7x + 5 = 0
3 x² + x + 2 = 0
Equação incompleta do segundo grau
Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente de zero.
Exemplos:
4 x² + 6x = 0
3 x² + 9 = 0
2 x² = 0
Resolução de equações incompletas do 2o. grau
Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:
x² = 0
significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.
Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:
x² = -c/a
Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.
Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.
Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:
x (ax + b) = 0
e a equação terá duas raízes:
x' = 0 ou x" = -b/a
Exemplos gerais
4x²=0 tem duas raízes nulas.
4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]
4x²+5=0 não tem raízes reais.
4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0
Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.
x² + 6x = 0
2 x² = 0
3 x² + 7 = 0
2 x² + 5 = 0
10 x² = 0
9 x² - 18 = 0
Resolução de equações completas do 2o. grau
Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:
onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.
Para esse discriminante D há três possíveis situações:
Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.
Se D=0, há duas soluções iguais:
x' = x" = -b / 2a
Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:
x' = (-b + R[D])/2a
x" = (-b - R[D])/2a
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Equação do 1º grau
Equação do 1º grau
Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios.
Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita
De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa.
Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.
2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.
Equação do 1º grau
Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.
ax + b = 0 ( a e b são números reais e a 0 )
Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:
ax + b = 0 » ax = -b
x = -b / a
* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.
Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5
4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2
Resolução de equações do 1º grau:
Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem.
Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro.
Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.
Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 » V = {9}
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
3 –7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0
x = 0 » V= {0}
ALGUNS VIDEOS DA NET...
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?
2) Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2
3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):
a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)
b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios.
Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita
De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa.
Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4.
2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4
Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4.
Equação do 1º grau
Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0.
ax + b = 0 ( a e b são números reais e a 0 )
Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade:
ax + b = 0 » ax = -b
x = -b / a
* Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os membros de uma equação por um número diferente de zero.
Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5
4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2
Resolução de equações do 1º grau:
Resolver uma equação significa encontrar valores de seus domínios que a satisfazem.
Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro.
Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos.
Determine o valor da incógnita x:
a) 2x – 8 = 10
2x = 10 + 8
2x = 18
x = 9 » V = {9}
b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9)
3 –7 + 14x = 5 – x – 9
14x + x = 5 – 9 – 3 + 7
15x= 0
x = 0 » V= {0}
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1) Existem três números inteiros consecutivos com soma igual a 393. Que números são esses?
2) Resolva as equações a seguir:
a)18x - 43 = 65
b) 23x - 16 = 14 - 17x
c) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20
d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12
e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4
f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2
3) Determine um número real "a" para que as expressões (3a + 6)/ 8 e (2a + 10)/6 sejam iguais.
4) Resolver as seguintes equações (na incógnita x):
a) 5/x - 2 = 1/4 (x 0)
b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bc
domingo, 22 de fevereiro de 2009
Função do 2º grau
Pra que uma função seja considerada do 2º grau, ela terá que assumir certas características, como: Toda função do 2º grau deve ser dos reais para os reais, definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, sendo que a deve pertencer ao conjunto dos reais menos o zero e que b e c deve pertencer ao conjunto dos reais.
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é:
f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a R* e b e c R.
Veja alguns exemplos de Função afim:
f(x) = x2 + 2x +1 ; a = 1 , b = 2 , c = 1 (Completa)
f(x) = 2x2 – 2x ; a = 2 , b = - 2 , c = 0 (Incompleta)
f(x) = - x2 ; a = -1 , b = 0 , b = 0 (Incompleta)
Toda função a do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.
A função do 2º grau f(x) = x2 + 2x - 1 pode ser representada por
y = x2 + 2x - 1. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.
Vamos dizer que x = -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = - 3 x = - 2
y = (-3)2 + 2 . (-3) – 1 y = ( -2)2 + 2 . (-2) - 1
y = 9 – 6 – 1 y = 4 – 4 – 1
y = 3 – 1 y = -1
y = 2
x = -1 x = 0
y = (-1)2 + 2 . (-1) -1 y = 02 + 2 . 0 – 1
y = 1 - 2 -1 y = -1
y = -2
x = 1 x = 2
y = 12 + 2 . 1 – 1 y = 22 + 2 . 2 – 1
y = 1 + 2 – 1 y = 4 + 4 – 1
y = 3 – 1 y = 8 – 1
y = 2 y = 7
Os valores de x são o domínio e a imagem, e o contradomínio são os valores de y. Então, podemos dizer que o domínio e o contradomínio são o conjunto dos reais.
Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.
f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9 pode ser escrita assim: y = 3x2 – 5x + m2 – 9, agora basta fazer as substituições:
f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9
0= 3 . 02 – 5 . 0 + m2 – 9
0 = m2 – 9
m2 = 9
m = √9
m = - 3 ou + 3
Alguns videos que achei, espero que ajudem!
Então, podemos dizer que a definição de função do 2º grau é:
f: R→ R definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a R* e b e c R.
Veja alguns exemplos de Função afim:
f(x) = x2 + 2x +1 ; a = 1 , b = 2 , c = 1 (Completa)
f(x) = 2x2 – 2x ; a = 2 , b = - 2 , c = 0 (Incompleta)
f(x) = - x2 ; a = -1 , b = 0 , b = 0 (Incompleta)
Toda função a do 2º grau também terá domínio, imagem e contradomínio.
A função do 2º grau f(x) = x2 + 2x - 1 pode ser representada por
y = x2 + 2x - 1. Para acharmos o seu domínio e contradomínio, devemos em primeiro estipular valores para x.
Vamos dizer que x = -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2. Para cada valor de x teremos um valor em y, veja:
x = - 3 x = - 2
y = (-3)2 + 2 . (-3) – 1 y = ( -2)2 + 2 . (-2) - 1
y = 9 – 6 – 1 y = 4 – 4 – 1
y = 3 – 1 y = -1
y = 2
x = -1 x = 0
y = (-1)2 + 2 . (-1) -1 y = 02 + 2 . 0 – 1
y = 1 - 2 -1 y = -1
y = -2
x = 1 x = 2
y = 12 + 2 . 1 – 1 y = 22 + 2 . 2 – 1
y = 1 + 2 – 1 y = 4 + 4 – 1
y = 3 – 1 y = 8 – 1
y = 2 y = 7
Os valores de x são o domínio e a imagem, e o contradomínio são os valores de y. Então, podemos dizer que o domínio e o contradomínio são o conjunto dos reais.
Com relação à função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9, sabe-se que f(0) = 0. Calcule o valor de m.
f(0) = 0, isso significa que x = 0 e y = 0. A função f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9 pode ser escrita assim: y = 3x2 – 5x + m2 – 9, agora basta fazer as substituições:
f(x) = 3x2 – 5x + m2 – 9
0= 3 . 02 – 5 . 0 + m2 – 9
0 = m2 – 9
m2 = 9
m = √9
m = - 3 ou + 3
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Função do 1º grau
Função de 1º grau
Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
O coeficiente de x, "a", é chamado coeficiente angular da reta e, "a" está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, "b", é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
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Definição
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.
Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:
f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3
f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7
f(x) = 11x, onde a = 11 e b = 0
Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a0, é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy.
O coeficiente de x, "a", é chamado coeficiente angular da reta e, "a" está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante, "b", é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
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